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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 #PVpC  
P 4kZ9kU9  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. jz3:Q+k  
r \B;LAOM  
　　1、三角函数本质： 4>np5k]5S  
L =P"op  
　　三角函数的本质来源于定义 ?l=krD,  
4r Z1&@Q8  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ^oZiOu  
N(,(UXovl8  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 @rh>[xV)  
:a_y:E!c  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： !jjW'O  
/V<VNI  
　　推导： \lcQQAr  
_he@+,  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 U6p >Lu)6o  
iN=alo  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) t\!@+eNu  
7p\CXo+  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) u$nAh%#n  
XnZR_W  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 4- (u z,  
Y/\jiV W  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 0xBu Ss  
U+>8WB [  
　　[1] "0_Hu,a0u  
oOebXeG  
　　两角和公式 ()Ab::")  
)M,uQ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB P!glD2D`  
v,~7g  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  "iW7Q!  
v%.Y%_/x  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB "0xpqB  
B=IQ4?`\R  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB +7{-w  
A*(d7R@H}%  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ~N7#@jlO?+  
KdZI)s  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) S@Hw6:?PQ  
m^ DK{  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  {P-nLRD&  
adzIlX'*2  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) IvBt)TT0A  
5$3sot/  
倍角公式 rxaR"{OA  
n*9)kqd~  
　　Sin2A=2SinA•CosA +6mH.H  
a>-8 @U  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ,c^)v+ AI  
ifq|+Z  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） D@gSZGrJJm  
+R-}0X~  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） =%`FLF:|$X  
(WVRQra?,  
三倍角公式 O-a2FcG  
&SOJ|mQ6!  
　　 6KopT)o#H  
c=4+600{  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) M$n!wT$  
vDI Byvi)  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) &:9Y3:  
UwD-r*3  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) "R7OL~wJ  
%ERvo/<qQ  
三倍角公式推导 s' 3 1Cso  
Ikm9q_aO  
　　sin3a ~,cTqin$S  
eA>n ed  
　　=sin(2a+a) yd!0M1kJ`k  
@'Z}D 1  
　　=sin2acosa+cos2asina =y.qmRf  
DP<ty:ZM  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ',),Pqp  
`!Q 1bSr  
　　=3sina-4sin³a ;$7Z `<  
K8HnP ,4  
　　cos3a <{PGGW2ns  
x)hlMvc1\  
　　=cos(2a+a) f\/+ ' 1  
oUuk%nPa  
　　=cos2acosa-sin2asina P4%jz  
:4YRm  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa z [>>4x  
x}'l.  
　　=4cos³a-3cosa &p{lWj{  
}mu{ jy  
　　sin3a=3sina-4sin³a _ ( kX:}c`  
MpQh m>  
　　=4sina(3/4-sin²a) {b$u4}u  
*#)rKw  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] f1rI{QK?j  
5R]u1~Jxl  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 4%}s >qHj  
@>}PFg]x  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Md:x  
Uy/>}kCRt  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] DP}7gc-<[  
t-x;3!R@  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) I{ b3L.w  
Np0,5gVL  
　　cos3a=4cos³a-3cosa :V=(ft,  
_iXDb2  
　　=4cosa(cos²a-3/4) \mxp,! w  
MhzL|EEG+  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] fA" :MD  
zq05gY2-  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) |/m=YasPn  
>Jt.C@4x  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) g|_-x}wv  
mk[Z#dZ|k  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} O"~ FX)(  
A-\y3=l9  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) j4e2c=ZO  
rxnqG8eC0C  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] DbQxOqS  
6">uGH  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] :Fl)-k%.rz  
6 sO8wg  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) aqX1r S  
4T!>d =  
　　上述两式相比可得 !-eV6p0TQI  
e*|*v,  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) >rV^1K  
6~mCyC^  
半角公式 7A5-HqY  
&or+[JT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); [6U/oiF  
h>W4h"4  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. )M8g  
+|4*W:GS3  
和差化积 FvmMQ-OI  
6wnZ=#Hj  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] gq'[zY-E  
L+%]BO5  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Fl^ZjJt2  
E@-PrV&goH  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] = RDX_  
la;G:'itd_  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] VqhS/Zy Q  
*jG/y+ x:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) THJ{8y~  
q\Xra@J`  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) BIXaj:64  
g!k7mV  
积化和差 &eED+W d  
ZQ @srXm  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] HV@+"  
[7D=eH"$<_  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] fhhqyq>_  
N kC |5G  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] WfPX*  
dki*|(p  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ,e>4?pcb4  
g98 :'B  
诱导公式 \n:HjLvq  
g{ZpU{M  
　　sin(-α) = -sinα qS=N]u|@  
n[ F}ao u8  
　　cos(-α) = cosα p_F%q#%k  
=c 65K=  
　　sin(π/2-α) = cosα @hH\y^a  
_MVdBn-][j  
　　cos(π/2-α) = sinα 9VZ Gk+  
b8n   
　　sin(π/2+α) = cosα n.<U!Of3X8  
B<0'^b!  
　　cos(π/2+α) = -sinα nS`!`$A  
Q(n.d  
　　sin(π-α) = sinα CB\V]v  
4={[\hoK'  
　　cos(π-α) = -cosα jCwIFgz-  
:J/pDBZ"  
　　sin(π+α) = -sinα !-4 S6a"  
HYZPGjcs  
　　cos(π+α) = -cosα W; #o5   
IX$-<YJ;e  
　　tanA= sinA/cosA nWRRp^Z  
 Y]wCb5.u  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα K3&6`,pv  
o/`.vttE  
　　tan（π/2－α）＝cotα F^'ac^f  
8Z5A1$/X  
　　tan（π－α）＝－tanα (.zq(T^  
bDwmDX#/n>  
　　tan（π＋α）＝tanα VK8/fBs2  
-B;Q~w#  
万能公式 `n`(V~$1  
dWrq   
　　 A_+4do 3  
1H5; w&s  
其它公式 gC[VQ+Sn  
nE6J   
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Z8:P'Y<  
 )Ud< <v  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 F4] UM4  
,%Z&TXD#E  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 6EPJn:,nQV  
h#!y./P&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 W{s$U:K$n  
3QI[M_:  
　　对于任意非直角三角形,总有 e/k=VJNj5  
*wKjdfB5v  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <{GZ[b=Oc  
cQM:*\]  
　　证: 5s`{'@q  
xFc)!_V,  
　　A+B=π-C _RMSV)C  
spbze;2l  
　　tan(A+B)=tan(π-C) "51J)o  
/Q4?0@s;Q  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) M8 ]  
7 eM9sRa  
　　整理可得 s}_g#~|u9\  
{xZdbL(% 7  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC H&!^  
*0PwiY6 o  
　　得证 &R 9ZD]_~  
(*6| 4i  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 cx@z- Tq4  
ll@Q)%1L  
其他非重点三角函数 +P6X3ho  
WwF!Nv/5  
　　csc(a) = 1/sin(a) 11Pt^7*  
IRD "t[D#/  
　　sec(a) = 1/cos(a) =9 q/NxO7  
oi{/|<z  
　　 Ocf%"_0y{  
X;Qo)Yb<  
双曲函数 }4km-z\2r  
^VQM?qm!  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 @'^B-P~  
qfBprIj<m  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 za76HR5a  
mc-seKv  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ^^ k\[&+  
>["+ljX*h  
　　公式一： t`U\1\X  
adCnD  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： %>9lMmA`  
{VP=VjQF  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 3I=dkxK  
v[*z^{2nh9  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ;x1%',1$  
$}J4.YZTA  
　　tan（kπ＋α）= tanα "}tl0bJ/  
CAR@X> #  
　　cot（kπ＋α）= cotα 4NNji7c  
}PS.3 q  
　　公式二： DvpDz~{rX  
R+~De`  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： %7iFNM;  
~xmaU6QV  
　　sin（π＋α）= -sinα ;({+?dxi  
gZ `W\l  
　　cos（π＋α）= -cosα mB(*xKH  
,9|wbAdVc  
　　tan（π＋α）= tanα Aa2n)N  
mC bi~  
　　cot（π＋α）= cotα Mx&PA#   
w BPZp  
　　公式三： UMq[O3V  
N,@<o`7  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ?n is;N?  
x)n629&  
　　sin（-α）= -sinα >E eS:`f  
,solS  
　　cos（-α）= cosα OAGL[5oPA  
<2RAeYT  
　　tan（-α）= -tanα A=?&).:EeG  
=8Yw! oN  
　　cot（-α）= -cotα 1JD^J  
Ssn``h@@F\  
　　公式四： @yDrGkDq  
h4'9n ^  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 6g| /.41  
9V51x4W]  
　　sin（π-α）= sinα FR7v(:hv  
X[~B)44?9  
　　cos（π-α）= -cosα u pdJPQy  
>/a8<  
　　tan（π-α）= -tanα D zwGIZ^  
;ygwpl  
　　cot（π-α）= -cotα ]}jgfCOBH0  
Ch!?]C*6  
　　公式五： g2%=b)>  
M/{>Ys$  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： c#cO]= gp[  
YJ9#?VIKd  
　　sin（2π-α）= -sinα G3L7 @SR  
mF4(P\F  
　　cos（2π-α）= cosα #W}eE#  
w:$qdR  
　　tan（2π-α）= -tanα %1}4y>>{/  
FRhE.a z  
　　cot（2π-α）= -cotα CbH~}=Y"  
[",K(c *$  
　　公式六： m,TlRM)*  
3.%dBWM  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： $%3-'>3  
hoML:k K  
　　sin（π/2+α）= cosα !}G=GUiS  
IN1(^:Vx  
　　cos（π/2+α）= -sinα S:iKM# P  
?g(6i{3  
　　tan（π/2+α）= -cotα SORH8YV  
~i7&h)23g  
　　cot（π/2+α）= -tanα >%'0]]ZXC  
EN vy 4AE  
　　sin（π/2-α）= cosα Wlu*n?e\  
<-B'Ll,]  
　　cos（π/2-α）= sinα PE/|[C  
^W|/Q u}<g  
　　tan（π/2-α）= cotα tiv%&;  
E?`j%0  
　　cot（π/2-α）= tanα 9*v4gMU)  
4#}1rE >Af  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 4\Mav   
GWSdwBB  
　　cos（3π/2+α）= sinα *YDeSe5  
Aa*epIc,"  
　　tan（3π/2+α）= -cotα |xJ8JEuB  
I1M>1c/-  
　　cot（3π/2+α）= -tanα #EyIQQ  
_xF6DC2#J  
　　sin（3π/2-α）= -cosα C-::p*  
F7GPY+Y>  
　　cos（3π/2-α）= -sinα TU [xur]z  
U}c\tlz[  
　　tan（3π/2-α）= cotα zY"FF={  
}=] Jgc*.  
　　cot（3π/2-α）= tanα =gJhSjy~8  
;VfV&&.8  
　　(以上k∈Z) Y!;!*{  
.TC&c   
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 4"RTEftf  
>EefB`i  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ZsP@ A'  
X|W%u04  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ~kJ?!FEh  
APm~A@B  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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