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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Do >WGF  
_PgI?BGx  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. G#6H+k2A  
#33Bk\y8  
　　1、三角函数本质： ,m(TUjG  
*J+R4x ,E  
　　三角函数的本质来源于定义 ?P/N9"  
$$$8 K\  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 tYWk2:<?R  
lJ#6^Pp  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 m c<+S X(  
0:(\^K  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： z7 b?<  
qNa%=c]+  
　　推导： kV&88t  
e"[$d^C|V  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 $i[(CC LB  
!7B|U DO  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) EJ:y~dg5  
yi&H 72o  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Gq#7>e  
 ET-*/:J  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 x:np Pk6}  
IXl* 9CD%  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） fM?0CLU  
e?F/;sxKO  
　　[1] k }eU7'>  
bK"wnc  
　　两角和公式 Z"H1!9+  
r g|@EV?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB p'_z)O  
WM1.mZ<5m  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  gEehaw  
]o/G Z\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB #a}ZV)+g|  
SJ3E#CKmG  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ( btw  
YDrK1!r,-V  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) wl()Vy@  
!@KUGIY  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) p\\u?XOl  
dw eWHe 2  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  FU %cxq6  
7`NK 0*L{  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) IA5 dT  
Uguh.a/  
倍角公式 avIZ\`=u  
I w]9G  
　　Sin2A=2SinA•CosA |x3 zEg7EP  
vY&3qX2y  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 %$?&mHhN  
hrOh1 q  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 2DL]Z'.Ve  
# T@  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） .h7e=(z;I  
M]R]lPVoA  
三倍角公式 +pOo<j.J  
A5=InL  
　　 V?^0  
I"ibY?B  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) YxUi+`(  
lP@M4y_at  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) +64,A#%a  
"D? T  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) TCaG.uOep  
5 (_0,  
三倍角公式推导 Qc,|AZP]S  
SG` , \5  
　　sin3a Os c~ b  
mp4=]+<w9  
　　=sin(2a+a) >vxma`g  
_;JX?47h^  
　　=sin2acosa+cos2asina  (X1*mCa  
e&nIg!B  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina $Zs F7<  
^A47xod  
　　=3sina-4sin³a DVrz~i(BEZ  
m=[  
　　cos3a aku/XNjf  
O\nJ'H  
　　=cos(2a+a) |L-o_afIK  
P0A9+_eUj  
　　=cos2acosa-sin2asina 1P7B~B  
.k6d]"eC  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 4dOe%w  
3P8uD  
　　=4cos³a-3cosa ,^cA:O=}  
"~, #+  
　　sin3a=3sina-4sin³a "l<\:S  
#1iG V9 s  
　　=4sina(3/4-sin²a) TF35BkI  
Et 4Km;/D  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 1+_7\NK  
5vDG ,\%  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) uhcx'?C  
Oj^+&,b|kW  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) a(ewi@2C  
B3|_V&X 4  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] l X f#z k  
k5>R 9c  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) M{0uQsUBIk  
}{;N0]DJ  
　　cos3a=4cos³a-3cosa "gA%}V}1  
|56$Ak 3Z  
　　=4cosa(cos²a-3/4) %leiCzsh?  
I*T!2 )"v  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] T$CFay.x  
ow. t}Gy2  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) G ~:sC  
%z"yk"Z|x  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) [Z&0SH0  
c=!!hY  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} sg0K[PT  
pBaj2E^tf?  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ,H( sapJjt  
6q A66]&r  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] "P ^=Z  
xd&9}Y9  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] j1v1Ib6  
l9F>`2H;  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Pbi _5!  
WT),pr!g  
　　上述两式相比可得 x.4I8N])  
y vKuV  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Vz ~3u K5  
:C7 *  
半角公式 ^eT'8d^I  
\=Iw3r%X  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); n[ETx_ox  
;+)F7  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. he"a!y$Y!  
B$N$<PBC-@  
和差化积 F,#F,*9_r4  
V/9kTdZc"  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3oS2^@:?p  
<,@2M7o_  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x{3f'n  
P>HkjV-[X  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 35chX8"  
QakQ  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +kvq;.)K  
ud$,4g ]  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) '),JE}i7  
M"8_bu[  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) @zWM$* g  
[ XrKvfY  
积化和差 l/JA<w%  
g* 8j4G5  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] =bQ}kO o  
}*(=wN `{a  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] IFnrP4  
_LyoK/FO  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] yS~WoLI:Q  
C~;*)5Z   
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ,B7W-#L@N  
;Xm{{(  
诱导公式 I{I 3S  
imdkMBpA{a  
　　sin(-α) = -sinα g*Ev  
: \uU  
　　cos(-α) = cosα 0&d@[P4,L  
fCYzP2U  
　　sin(π/2-α) = cosα &<f1DB$  
yYuiz  
　　cos(π/2-α) = sinα yHl;jv>7=  
^:IU,b-o  
　　sin(π/2+α) = cosα j4k2Y)7^U  
{ro$ii-o  
　　cos(π/2+α) = -sinα 7Q\~1B]oEP  
2D _(/>  
　　sin(π-α) = sinα )^#~nZ  
kxUlX;  
　　cos(π-α) = -cosα m_{zPfH  
M;k|)?rkq  
　　sin(π+α) = -sinα [j-7K53#  
pO'YPJ  
　　cos(π+α) = -cosα ) q1K  
2b3?\BF  
　　tanA= sinA/cosA k74 ])aA  
$iMRix  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα %Er; OjVH  
Nlr2imCz  
　　tan（π/2－α）＝cotα ku $`;w  
<YQ}S P  
　　tan（π－α）＝－tanα 7dnuS5wd&4  
{-|m#VIU  
　　tan（π＋α）＝tanα b4'v$A ;P  
}U'f  
万能公式 }Za)C= {  
Z[oMrZ6Hy  
　　 c}]W6jM,  
i6y+&  
其它公式 M?]}H[*"  
0kHi9' P  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 } * d,1(  
=P}Sh  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 N4gk   
q y-k+uy  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 36Vu';  
V#y2w  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 41Xzxvah^  
dp")* Z  
　　对于任意非直角三角形,总有 K_&uQnJ  
,Z?5kN{  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC w1<8$64  
vm|,4 z  
　　证: 4#Gf/io  
Qyg[jv"`  
　　A+B=π-C WlMFx{  
pqsy5  
　　tan(A+B)=tan(π-C) lm k  8c  
HMB[_&  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ]7e5g50.O  
7#6PM@G/  
　　整理可得 %9+LuJ9l  
$Dyh!h)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .? LYM  
36FZvjNP  
　　得证 Y}'n<+  
4 U*IU  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 20;Q]@rF  
B}X|F<Q:  
其他非重点三角函数 +Dy4na9;  
.'ka/s>  
　　csc(a) = 1/sin(a) $R[e  
J AuD9i  
　　sec(a) = 1/cos(a) u/( 0T  
+9tq_,#  
　　 |m1E.P .P  
@ +)XB<g  
双曲函数 >8t26Lb<_  
2rav>E"`  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 8v%|i9|^q  
g3yQg!;  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 x Pv}  
xPt.6g#I<  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) {w{Sozv6p  
B~X8!KmJZ  
　　公式一： c^ \c7  
RY -E<}*bI  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： uvq&34  
p2`-Tf4X  
　　sin（2kπ＋α）= sinα zePW7wQ-  
h$~*]PCZt  
　　cos（2kπ＋α）= cosα UIxYb  
Y%oA7n:fh?  
　　tan（kπ＋α）= tanα 3a"5Nyi'@V  
W>p)9=U*  
　　cot（kπ＋α）= cotα Z b}9|i$  
"sH\ Ei%@Y  
　　公式二： |N0Z>6nv`  
} .yis:  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： R[En v  
F~,d!&Mts  
　　sin（π＋α）= -sinα : +[^Sb  
{iA{M2{  
　　cos（π＋α）= -cosα p;?|{_,4  
'%<Dh]I  
　　tan（π＋α）= tanα F9,^'7T  
&^R9i@(cV  
　　cot（π＋α）= cotα X tH'3O  
|Z``yi>  
　　公式三： ;fxE$ 1,6<  
p_r0\"_:  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：  O7mwR ^  
>x mpt]Bg  
　　sin（-α）= -sinα sUQADe7U  
1GasSyxb+  
　　cos（-α）= cosα [;C0j we  
_$6'v qM  
　　tan（-α）= -tanα izp:7/V-r  
mG}o1$  
　　cot（-α）= -cotα TC(R5Mq.G  
-kO+^  
　　公式四： ([yQhM?O  
YFjk71z4#  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： bBeKp\q  
>nB 1p  
　　sin（π-α）= sinα d6Oeq$@  
MH#qsF nh  
　　cos（π-α）= -cosα P>y=T  
xLAK(%f9  
　　tan（π-α）= -tanα )uG$m2(  
pSR >oi:9  
　　cot（π-α）= -cotα |9UQ^P5)M  
o,vg"+F  
　　公式五： Ueyl6v (Ub  
LsuQ #w%-(  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： I`g/"#=  
&$>G6%GEq  
　　sin（2π-α）= -sinα j:;C2JkpR  
Fw 'X y.  
　　cos（2π-α）= cosα b[DkWE{5  
0u&4 Qom  
　　tan（2π-α）= -tanα u}D_Ua  
?}(_k6cw  
　　cot（2π-α）= -cotα cX9kD_j3  
H),q?h`g|  
　　公式六： UM- bGj(  
L@N99`+BS  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： j%S`nkF  
k] 1f]  
　　sin（π/2+α）= cosα Stqqu +r#  
W)f[EUv;  
　　cos（π/2+α）= -sinα T e/  FD  
!cdOpGi  
　　tan（π/2+α）= -cotα M,5V*U  
!rMzuN'  
　　cot（π/2+α）= -tanα iv6&;]zAO  
M|b _CW  
　　sin（π/2-α）= cosα E808Z5*l  
B?#"wF.3  
　　cos（π/2-α）= sinα :9\wY='F;  
Isr}]1L  
　　tan（π/2-α）= cotα ]'Xx$B.`  
t374MnH-  
　　cot（π/2-α）= tanα [` Lr]/_z  
%azpD(  
　　sin（3π/2+α）= -cosα rFOS L`E  
y<f^~=Zr3  
　　cos（3π/2+α）= sinα L Bq z<kn  
")8*"Nw  
　　tan（3π/2+α）= -cotα D90)|  
l5L*9*  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Bo;8r-}L  
%nZKFIz{h  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 'HUn@(O  
AMrTz57&r  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Nv[)pK X  
%y 7L`H5  
　　tan（3π/2-α）= cotα 0jK<8Fhaz  
kp#^Np&bz-  
　　cot（3π/2-α）= tanα }W:Hu_v9  
53b$h)X]3  
　　(以上k∈Z) =o zVN   
:i;>=eQ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ,/3((}Cii  
SmRvIocp  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = kFA8K0^ZX  
6?u5*W@U  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 4uUG\l@i9  
[`$ l jWm  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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