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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 sYA,( s2#  
"WGKeq8}  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 0GeF?0s/  
ax0PtvbQ  
　　1、三角函数本质： F~yTt$eu  
mr &VRbcj  
　　三角函数的本质来源于定义 "V>*!qtln  
C7X4<CXah$  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 }Bwowz t   
M U12P  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 +msIq h#  
b KkCB  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： $Uq#[PC\C  
Wb)f#5W'!  
　　推导： )nEW  
*EN31%{;  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 T}wp04K&!  
AQh6]Uye  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 'M2y(18  
08@O*xz,e  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) LKVD}*<1T  
G~iRh=e  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 JAxS=E^!eV  
Gu!4T|  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Onxtq~6j*  
`3?]2  
　　[1] O 'oGfT  
zAUAZy{  
　　两角和公式 Z?-XzC^l  
xP&ky0&R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB `~Hn `>  
[1-g t9VF  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  &v*KWv^  
j]RlX*  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +K|_V|  
j>-N|<  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 60cG%5i  
3lPnn;YN8  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) l3W 3 n  
w &`NG[  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Bes09'D&K  
_QNi9CW,  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  gg|#c,  
>qRK   
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ^?WbO  
BWt~K^  
倍角公式 L1fO/%Hz  
~lPOM_rn  
　　Sin2A=2SinA•CosA &H`[ur~IR  
6q G+za|  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 2@a$ZYmR  
ExR]wV}  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） D/E;fXNJ  
x&+ ]  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \=%4-ln  
du?#|!~  
三倍角公式 :'TajA\  
"l! C:\p  
　　 v(~mp 9-  
_ uaqO   
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) H7l]qd`F  
Q"e2.J  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) _33."7B  
]-{j8cMC.  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) s,2Dl-:P1  
G.Ol5pJiC~  
三倍角公式推导 k2&x7?U  
'H],Y`nj(  
　　sin3a n b8f"~s  
uAA ,!"  
　　=sin(2a+a) p>_6?}$a|  
 YqTgo=  
　　=sin2acosa+cos2asina hYD"]h_T  
%nPY<W  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina E!S>2.$  
p5w#Q&  
　　=3sina-4sin³a fU26{)  
q_%G8\s  
　　cos3a A <[tU^o`  
Fd9t9T  
　　=cos(2a+a) =ST&  
aXd5w:FE_  
　　=cos2acosa-sin2asina Q(~xl4  
.f3&GM7a  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa EX%&.$  
~4&CB'X^  
　　=4cos³a-3cosa ~f-D zX{a  
|a%VoC  
　　sin3a=3sina-4sin³a jgXr:QsP<  
mCaD~r;d4  
　　=4sina(3/4-sin²a) CBs|H/R  
2N:UYbnQA  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 5X^sy(<D  
n-kCE9VE  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) @g"_)F7~D  
v.HbT*Q  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Yw]KN.E   
J3$\='  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] dJ 9J~q  
& _?6.d  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^rOYz;Z$  
s!6bW*?KF  
　　cos3a=4cos³a-3cosa vV%XTJ  
3@.8}rVC  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 7\ZAs@_~  
W#jOE133Oq  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] [\FD&BH  
2$T`c  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 8KA)%J]|  
3"#`M  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) R!6.&)~Jg  
fZZF>`7  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} D^w.[i.A  
l^i9xHW.  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ?$<IK/+  
#tU7^  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] -![K#E   
eU<?N`D  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 4kg TH^  
?cB!b {  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) z,&m8qZ  
 % y+amg-  
　　上述两式相比可得 |,^|Cv<:  
$Tr' ,9Y{  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Z8%Q{^?N  
c `8h j  
半角公式 :\*KUq8  
C(n O-^2g  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); h6MP,eaQE  
f_@n2l  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Q/Ngb63  
>}8l87 m  
和差化积 'dxBAt  
x =Hxc"q*  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `3:VZ'BRk  
q`3%NJw!}  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] c8GiDC4-&  
aZ=, #k~  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5fr1TV*{s  
$BrZ<55  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] w-Y,FvW  
/C]%f}J  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) NS][Q^9  
@)@VE0h~  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Rfet5#al  
\1&:mOh"  
积化和差 o/`J2o)  
(dnQ:a5a6  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] k?FX_k4(  
~ B$'ME\  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] .LD]'.?p  
V%6\PEhb4  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 5fpbxx!w*  
Vwgr&t&aL  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] nH966<_*h  
jxkqZ>&  
诱导公式 nrQRW}(O:  
|XJ')C3h  
　　sin(-α) = -sinα (e_i9/rY^U  
tw=J&cD*O  
　　cos(-α) = cosα !W S>5]  
ADwJuUf c  
　　sin(π/2-α) = cosα <!&[\nq$^  
 &s wH  
　　cos(π/2-α) = sinα [l>[U$dyd  
"`"STG  
　　sin(π/2+α) = cosα 7Dw'ueFp\o  
^q1afQ  
　　cos(π/2+α) = -sinα P=aH+Ssw-  
LA:YuD1nY  
　　sin(π-α) = sinα !<H#Diy   
3AOd:i>  
　　cos(π-α) = -cosα vakolZCF  
S w)L&I"~  
　　sin(π+α) = -sinα .FPW ,R(  
m?>&$.8f  
　　cos(π+α) = -cosα ,{mn, 2  
=S}7=lD uX  
　　tanA= sinA/cosA ?0p{na(7  
}vz5]P&W  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα e6m|\.  
aaEJ#KWM  
　　tan（π/2－α）＝cotα iSiGAL;(^+  
M&4!`fE8~  
　　tan（π－α）＝－tanα gAo!t9]L  
+hDG@Ln  
　　tan（π＋α）＝tanα R o[>3o5L  
~ 'D)D>CI  
万能公式 (E=Ac  6L  
sIsL2nevG`  
　　 jh0Vq6A'8  
9AKRs  
其它公式  l~M $fY  
)Wrf(t&K  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 emv?3)Ak  
LKUeh\b$  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 =/ ~@zW13  
u+?AhxV0  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Z#NkPe ~  
}qtbj2  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 "V<m9"*"*  
UU-d|HhCn_  
　　对于任意非直角三角形,总有 zy:QCYDDD  
#hf[S|M  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC z-4OU2  
D ,bx@  
　　证: _D8R)"`  
C,DBj#gX  
　　A+B=π-C A4{gW-/  
v48# F_  
　　tan(A+B)=tan(π-C) U;f#& =V  
yzxiVD2~Z  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) L2C=tMo(n  
'#t{/%;I  
　　整理可得 E&1JvCgI}  
u" \Gi[iTP  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC hM6=ubUZ  
9g!?^I^qW  
　　得证 4dh\{jxB)  
Avp7t*U(  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 (\/]/f8  
jeN8oO  
其他非重点三角函数 n5nZiVWq  
1hy:vn3\  
　　csc(a) = 1/sin(a) ;e3} _U5  
sN[\xwJa  
　　sec(a) = 1/cos(a) I}q[:a'm  
$e4fOIk:4  
　　 jt<"<b   
r~W PWvET  
双曲函数 D,xMg  
/qAI Me+S'  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Et0rs\z  
Y)jh&eG"  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 gUd 1  
H+-..`o6|  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) uj=K0w~  
>Wg_1 $  
　　公式一： 'NJWzMY,s  
u2ND8P`J"<  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： XM@, a  
\"&1r'B 5  
　　sin（2kπ＋α）= sinα AdVfS[>  
LZ,~ZW+f|  
　　cos（2kπ＋α）= cosα BUQq%%b9Q  
BG8Si   
　　tan（kπ＋α）= tanα $Ajf,q^  
um4+s~T}V  
　　cot（kπ＋α）= cotα Xs^o\.T  
@dcTae^;I  
　　公式二： w@dMEcW  
IwuXTCN:T  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 9+?6Ua^?(  
E-!cr=scK  
　　sin（π＋α）= -sinα Y?{r.RF   
"v9RqZ h3  
　　cos（π＋α）= -cosα Wfv2tLa=oc  
2)v B!s  
　　tan（π＋α）= tanα 'H6+^R!~  
q{,W7t  
　　cot（π＋α）= cotα E}0Q{09h  
"<7a1  
　　公式三： \Gw7A0  
q\R++J>d(+  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Y"\Q2!r;z  
/7Y@Lm  
　　sin（-α）= -sinα s m(`tUW5  
>92e'6?  
　　cos（-α）= cosα 1 ,i :!  
mD{,<29P  
　　tan（-α）= -tanα ye~iy;=  
N+;{lLR|#^  
　　cot（-α）= -cotα :,}^,x#  
Z5$@7_k=B  
　　公式四： *)}x<  
LNiwG  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： . ZrUX"  
;gD!R s  
　　sin（π-α）= sinα @*e7_(  
ZK"(rTi }  
　　cos（π-α）= -cosα {z`&YOiT  
f4&6B*Mg  
　　tan（π-α）= -tanα p*I]u+z  
U%!W]G)2  
　　cot（π-α）= -cotα !ktQXDfz5m  
+7i:~$o_  
　　公式五： _x2ZZ IaS  
co+]zc8r  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： fI%OR$pDPf  
z%/NLD/ckE  
　　sin（2π-α）= -sinα !i0.!_  
zse &7x  
　　cos（2π-α）= cosα HpOPhYZ  
u G">D$5  
　　tan（2π-α）= -tanα +wyIZ  
K'(M9GxqG  
　　cot（2π-α）= -cotα BP_8R"  
6[DePUs  
　　公式六： z^ h *Y  
/SgD"g4  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： V^Q5YiUr  
L _@](Q  
　　sin（π/2+α）= cosα mOuRP@CzQ  
=Cq H ?C  
　　cos（π/2+α）= -sinα v6Uc'TJ  
AOxB!^mDR  
　　tan（π/2+α）= -cotα d{M6 ?wlj  
KRV8 w\  
　　cot（π/2+α）= -tanα #Oy8A,l  
q;"^ b@PR  
　　sin（π/2-α）= cosα !_KDC  
Yg &rE=]a  
　　cos（π/2-α）= sinα p:{0#3GoE  
p++88@z]  
　　tan（π/2-α）= cotα kPmpA  
9_s/.N  
　　cot（π/2-α）= tanα VEJ;F)4  
I[:b# (  
　　sin（3π/2+α）= -cosα _2Qt2wGD|  
,D<a:C  
　　cos（3π/2+α）= sinα QCjZJ.  
^MY 9wv  
　　tan（3π/2+α）= -cotα F 4'0Lqf  
6Z&09o=U  
　　cot（3π/2+α）= -tanα t$JWNT'n  
vq`m"(lvgk  
　　sin（3π/2-α）= -cosα %gowx_  
XZ|34V Nq  
　　cos（3π/2-α）= -sinα U j^PGUH  
dnr0:+q!  
　　tan（3π/2-α）= cotα _'N84)8\  
{GA~*z  
　　cot（3π/2-α）= tanα b\[!vu,  
2U^gT"94  
　　(以上k∈Z) Vy:AKj  
V={FkqYi]  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 I`c?-^,i  
qkJ-|Aqq  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = >m_c*l1om  
2eY"Um{D  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 5W}rxUfj'  
2Mu1BWb}  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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